Geometry, branch of mathematics concerned with the properties of and relationships between points, lines, planes, and figures and with generalizations of these concepts.
Types of Geometry
Euclidean geometry, elementary geometry of two and three dimensions (plane and solid geometry), is based largely on the Elements of the Greek mathematician Euclid (fl. c.300 BC). In 1637, Rene Descartes showed how numbers can be used to describe points in a plane or in space and to express geometric relations in algebraic form, thus founding analytic geometry, of which algebraic geometry is a further development (see Cartesian coordinates). The problem of representing three-dimensional objects on a two-dimensional surface was solved by Gaspard Monge, who invented descriptive geometry for this purpose in the late 18th cent. differential geometry, in which the concepts of the calculus are applied to curves, surfaces, and other geometrical objects, was founded by Monge and C. F. Gauss in the late 18th and early 19th cent. The modern period in geometry begins with the formulations of projective geometry by J. V. Poncelet (1822) and of non-Euclidean geometry by N. I. Lobachevsky (1826) and Janos Bolyai (1832). Another type of non-Euclidean geometry was discovered by Bernhard Riemann (1854), who also showed how the various geometries could be generalized to any number of dimensions.
Their Relationship to Each Other
The different geometries are classified and related to one another in various ways. The non-Euclidean geometries are exactly analogous to the geometry of Euclid, except that Euclid's postulate regarding parallel lines is replaced and all theorems depending on this postulate are changed accordingly. Both Euclidean and non-Euclidean geometry are types of metric geometry, in which the lengths of line segments and the sizes of angles may be measured and compared. Projective geometry, on the other hand, is more general and includes the metric geometries as a special case; pure projective geometry makes no reference to lengths or angle measurements. The general metric geometry consisting of all of Euclidean geometry except that part dependent on the parallel postulate is called absolute geometry; its propositions are valid for both Euclidean and non-Euclidean geometry. Another type of geometry, called affine geometry, includes Euclid's parallel postulate but disregards two other postulates concerning circles and angle measurement; the propositions of affine geometry are also valid in the four-dimensional geometry of space-time used in the theory of relativity . Ordered geometry consists of all propositions common to both absolute geometry and affine geometry; this geometry includes the notion on intermediacy ("betweenness") but not that of measurement.
An important step in recognizing the connections between the different types of geometry was the Erlangen program, proposed by the German Felix Klein in his inaugural address at the Univ. of Erlangen (1872), according to which geometries are classified with respect to the geometrical properties that are left unchanged (invariant) under a given group of transformations. For example, Euclidean geometry is the study of properties unchanged by similarity transformations, affine geometry is concerned with properties invariant under the linear transformations (affine collineations) that preserve parallelism, and projective geometry studies invariants under the more general projective transformations (collineations and correlations). Topology , perhaps the most general type of geometry although often considered a separate branch of mathematics, is concerned with properties invariant under continuous transformations, which carry neighborhoods of points into neighborhoods of their images.
Types of Geometry
Euclidean geometry, elementary geometry of two and three dimensions (plane and solid geometry), is based largely on the Elements of the Greek mathematician Euclid (fl. c.300 BC). In 1637, Rene Descartes showed how numbers can be used to describe points in a plane or in space and to express geometric relations in algebraic form, thus founding analytic geometry, of which algebraic geometry is a further development (see Cartesian coordinates). The problem of representing three-dimensional objects on a two-dimensional surface was solved by Gaspard Monge, who invented descriptive geometry for this purpose in the late 18th cent. differential geometry, in which the concepts of the calculus are applied to curves, surfaces, and other geometrical objects, was founded by Monge and C. F. Gauss in the late 18th and early 19th cent. The modern period in geometry begins with the formulations of projective geometry by J. V. Poncelet (1822) and of non-Euclidean geometry by N. I. Lobachevsky (1826) and Janos Bolyai (1832). Another type of non-Euclidean geometry was discovered by Bernhard Riemann (1854), who also showed how the various geometries could be generalized to any number of dimensions.
Their Relationship to Each Other
The different geometries are classified and related to one another in various ways. The non-Euclidean geometries are exactly analogous to the geometry of Euclid, except that Euclid's postulate regarding parallel lines is replaced and all theorems depending on this postulate are changed accordingly. Both Euclidean and non-Euclidean geometry are types of metric geometry, in which the lengths of line segments and the sizes of angles may be measured and compared. Projective geometry, on the other hand, is more general and includes the metric geometries as a special case; pure projective geometry makes no reference to lengths or angle measurements. The general metric geometry consisting of all of Euclidean geometry except that part dependent on the parallel postulate is called absolute geometry; its propositions are valid for both Euclidean and non-Euclidean geometry. Another type of geometry, called affine geometry, includes Euclid's parallel postulate but disregards two other postulates concerning circles and angle measurement; the propositions of affine geometry are also valid in the four-dimensional geometry of space-time used in the theory of relativity . Ordered geometry consists of all propositions common to both absolute geometry and affine geometry; this geometry includes the notion on intermediacy ("betweenness") but not that of measurement.
An important step in recognizing the connections between the different types of geometry was the Erlangen program, proposed by the German Felix Klein in his inaugural address at the Univ. of Erlangen (1872), according to which geometries are classified with respect to the geometrical properties that are left unchanged (invariant) under a given group of transformations. For example, Euclidean geometry is the study of properties unchanged by similarity transformations, affine geometry is concerned with properties invariant under the linear transformations (affine collineations) that preserve parallelism, and projective geometry studies invariants under the more general projective transformations (collineations and correlations). Topology , perhaps the most general type of geometry although often considered a separate branch of mathematics, is concerned with properties invariant under continuous transformations, which carry neighborhoods of points into neighborhoods of their images.
ПЕРЕКЛАД
Геометрія, галузь математики, пов'язана з властивостями і зв'язками між точками, лініями, площинами і фігурами та з узагальненнями цих понять.
Види геометрії
Евклідова геометрія, елементарна геометрія двох і трьох вимірів (плоска і тверда геометрія), грунтується в основному на елементах грецького математика Евкліда (фл. C.300 до н.е.). У 1637 р. Рене Декарт показав, як номери можуть бути використані для опису точок в площині або в просторі, а також виражати геометричні відносини в алгебраїчній формі, тим самим встановлюючи аналітичну геометрію, алгебраїчна геометрія якої є подальшим розвитком (див. Декартові координати). Проблема представлення тривимірних об'єктів на двовимірній поверхні була вирішена Гаспар Монж, який винайшов описову геометрію для цієї мети наприкінці XVIII століття. Диференціальна геометрія, в якій поняття обчислення застосовуються до кривих, поверхонь та інших геометричних об'єктів, була заснована Монжем і К. Ф. Гаусом наприкінці 18-го і початку 19-го століття. Сучасний період в геометрії починається з формулювань проективної геометрії Я. В. Понселета (1822) та неевклідової геометрії Н. І. Лобачевського (1826 р.) Та Яноша Боляя (1832 р.). Інший тип неевклідової геометрії був виявлений Бернардом Ріманом (1854), який також показав, як різноманітні геометрії можуть бути узагальнені на будь-яку кількість вимірів.
Їх взаємозв'язок між собою
Різні геометрії класифікуються і пов'язані один з одним різними способами. Неевклідові геометрії точно аналогічні геометрії Евкліда, за винятком того, що постулат Евкліда відносно паралельних ліній замінюється і всі теореми, що залежать від цього постулату, відповідно змінюються. Обидва евклідової та неевклідової геометрії є типи метричної геометрії, в яких можна виміряти і порівнювати довжини сегментів ліній і розміри кутів. Проектна геометрія, з іншого боку, є більш загальною і включає метричні геометрії як особливий випадок; чиста проективна геометрія не вказує на вимірювання довжини або кутів.
Загальна геометрія метрики, що складається з усієї евклідової геометрії, крім тієї частини, яка залежить від паралельного постулату, називається абсолютною геометрією; його пропозиції справедливі як для евклідової, так і для неевклідової геометрії. Інший тип геометрії, що називається афінною геометрією, включає в себе паралельний постулат Евкліда, але ігнорує два інших постулати щодо вимірювання кругів та кутів; пропозиції афінної геометрії також діють в чотиривимірній геометрії простору-часу, що використовуються в теорії відносності. Замовлена геометрія складається з усіх пропозицій, загальних для абсолютної геометрії та афінної геометрії; ця геометрія включає в себе поняття про проміжність ("проміжність"), але не про вимірювання.
Важливим кроком у визнанні зв'язків між різними типами геометрії було програма Ерлангена, запропонована німецьким Феліксом Клейном у своїй інавгураційній адресі на Univ. від Erlangen (1872), згідно з яким геометрії класифікуються по відношенню до геометричних властивостей, які залишаються незмінними (інваріантні) під певною групою перетворень. Наприклад, евклідова геометрія полягає в вивченні властивостей незмінних за подібністю перетворень, афінна геометрія стосується властивостей, інваріантних при лінійних перетвореннях (афінних колінеаціях), що зберігають паралелізм, та проекційні геометричні дослідження інваріантів при більш загальних проективних перетвореннях (колінеаціях і кореляціях) . Топологія, мабуть, найбільш загальний тип геометрії, хоча часто розглядається як окремий розділ математики, стосується властивостей, інваріантних при неперервних перетвореннях, які несуть окремі точки в окремі частини їх образів.
No comments:
Post a Comment